# Index 1 The Phenomenon of Gambling 1.1 A selective history 1.2 The gambler in fact and fiction 2 Finite Probabilities and Great Expectations 2.1 The probability concept and its origins 2.2 Dice, cards, and probabilities 2.3 Roulette, probability and odds 2.4 Compound probabilities: The rules of the game 2.5 Mathematical expectation and its application 2.6 Exercises 3 Backgammon and Other Dice Diversions 3.1 Backgammon oversimplified 3.2 Rolling spots and hitting blots 3.3 Entering and bearing off 3.4 The doubling cube 3.5 Craps 3.6 Chuck-a-Luck 3.7 Exercises 4 Permutations, Combinations, and Applications 4.1 Careful counting: Is order important? 4.2 Factorials and other notation 4.3 Probabilities in poker 4.4 Betting in poker: A simple model 4.5 Distributions in bridge 4.6 Keno type games 4.7 Exercises 5 Play it Again Sam: The Binomial Distribution 5.1 Games and repeated trials 5.2 The binomial distribution 5.3 Beating the odds and the "law" of averages 5.4 Betting systems 5.5 A brief blackjack breakthrough 5.6 Exercises 6 Elementary Game Theory 6.1 What is game theory? 6.2 Games in extensive form 6.3 Two-person games in normal form 6.4 Zero-sum games 6.5 Nonzero-sum games, Nash equilibria and the prisoners' dilemma 6.6 Simple n-person games 6.7 Power indices 6.8 Games computers play 6.9 Exercises 7 Odds and Ends 7.1 Off to the races 7.2 Lotteries and your expectation 7.3 The gambler's ruin # 1 The Phenomenon of Gambling ## 1.1 A selective history 1절에서는 확률론의 발전 과정에서 중요한 사건과 인물들을 선별적으로 소개하며, 이 학문이 어떻게 탄생하고 성장해 왔는지 간략하게 조망합니다. 확률론은 우연과 불확실성을 수학적으로 다루는 학문으로, 도박과 게임의 분석에서 시작하여 현대 과학과 기술의 핵심적인 도구로 자리매김하기까지 흥미로운 역사를 가지고 있습니다. **1. 확률론의 초기 발달 (도박과 게임의 분석)** 확률론의 초기 발전은 주로 도박과 관련된 문제들을 해결하려는 시도에서 비롯되었습니다. - **16세기: 제롬 카르다노 (Gerolamo Cardano, 1501-1576):** 이탈리아의 수학자이자 의사인 카르다노는 주사위 던지기와 같은 우연 게임의 결과를 분석했습니다. 그의 저서 "주사위 놀이 책 (Liber de Ludo Aleae)"은 확률에 대한 초기 수학적 분석을 담고 있으며, 표본 공간과 사건의 개념, 기본적인 확률 계산 방법을 제시했습니다. 비록 출판은 사후에 이루어졌지만, 확률론의 발전에 중요한 첫걸음으로 평가받습니다. - **17세기: 피에르 드 페르마 (Pierre de Fermat, 1601-1665)와 블레즈 파스칼 (Blaise Pascal, 1623-1662):** 프랑스의 두 수학자는 슈발리에 드 메레(Chevalier de Méré)라는 귀족이자 도박사의 질문을 계기로 확률론의 중요한 원리들을 독립적으로 발전시켰습니다. 드 메레는 주사위 던지기 게임에서 특정 결과가 나올 확률에 대한 질문을 던졌고, 페르마와 파스칼은 편지를 주고받으며 이 문제를 해결하는 과정에서 조합론적 확률 계산의 기초를 마련했습니다. 이들의 연구는 확률론을 단순한 도박 분석에서 벗어나 체계적인 수학적 이론으로 발전시키는 데 결정적인 역할을 했습니다. - **크리스티안 하위헌스 (Christiaan Huygens, 1629-1695):** 네덜란드의 물리학자이자 천문학자인 하위헌스는 페르마와 파스칼의 연구에 영향을 받아 1657년에 확률론에 대한 최초의 책 "우연 게임에 대한 추론 (De Ratiociniis in Ludo Aleae)"을 출판했습니다. 이 책은 기대값의 개념을 명확하게 제시하고, 다양한 우연 게임의 확률을 계산하는 방법을 체계적으로 설명했습니다. **2. 확률론의 체계화 및 응용 분야 확대** 18세기 이후, 확률론은 수학적 기초가 더욱 공고해지고 응용 분야가 확대되었습니다. - **야코프 베르누이 (Jakob Bernoulli, 1654-1705):** 스위스의 수학자인 베르누이는 그의 기념비적인 저서 "추측술 (Ars Conjectandi)"에서 큰 수의 법칙(Law of Large Numbers)을 최초로 엄밀하게 증명했습니다. 이 법칙은 시행 횟수가 증가함에 따라 경험적 확률이 이론적 확률에 수렴한다는 중요한 원리를 제시하며, 통계학의 기초가 되었습니다. - **피에르시몽 라플라스 (Pierre-Simon Laplace, 1749-1827):** 프랑스의 수학자이자 천문학자인 라플라스는 확률론을 체계적으로 정리하고 발전시키는 데 큰 공헌을 했습니다. 그의 저서 "확률의 철학적 에세이 (Essai philosophique sur les probabilités)"와 "천체역학 (Mécanique Céleste)"에서 확률론을 과학적 추론의 강력한 도구로 제시했으며, 통계학적 추론, 오차 이론 등에 확률론을 광범위하게 적용했습니다. - **카를 프리드리히 가우스 (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855):** 독일의 수학자이자 과학자인 가우스는 오차 이론을 연구하면서 정규 분포(Normal Distribution)를 발견하고 그 중요성을 밝혔습니다. 정규 분포는 자연 현상과 사회 현상에서 매우 흔하게 나타나는 확률 분포로, 통계학의 핵심적인 개념입니다. **3. 현대 확률론의 발전과 영향** 20세기 이후, 확률론은 더욱 추상적인 수학적 이론으로 발전하고, 통계학, 물리학, 경제학, 공학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 필수적인 도구로 자리매김했습니다. - **안드레이 콜모고로프 (Andrey Kolmogorov, 1903-1987):** 러시아의 수학자인 콜모고로프는 1933년에 "확률론의 기초 (Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung)"를 출판하여 현대 확률론의 공리적 기초를 확립했습니다. 그의 공리계는 집합론과 측도론을 기반으로 확률을 엄밀하게 정의하고, 확률론을 현대 수학의 한 분야로 확고히 자리매김하는 데 결정적인 역할을 했습니다. - **응용 분야의 확장:** 현대 확률론은 통신 이론, 정보 이론, 금융 공학, 생물 통계학, 기계 학습 등 첨단 과학 기술 분야에서 핵심적인 역할을 수행하고 있습니다. 불확실성을 모델링하고 예측하는 능력은 현대 사회의 다양한 문제를 해결하는 데 필수적입니다. **4. 결론** 확률론은 단순한 도박 분석에서 시작하여 수많은 수학자, 과학자들의 노력과 통찰력을 통해 현대 과학 기술의 핵심적인 이론으로 발전해 왔습니다. 우연과 불확실성을 이해하고 예측하려는 인간의 끊임없는 노력은 확률론이라는 강력한 도구를 탄생시켰으며, 이는 앞으로도 다양한 분야에서 중요한 역할을 수행할 것입니다. 이 책에서는 이러한 풍부한 역사를 바탕으로 확률론의 기본적인 개념과 응용 사례들을 탐구해 나갈 것입니다. ## 1.2 The gambler in fact and fiction 2절에서는 '도박사(Gambler)'라는 인물이 역사 속 사실과 문학 작품 속 허구에서 어떻게 그려져 왔는지 살펴봅니다. 도박은 예로부터 인간의 삶과 떼려야 뗄 수 없는 관계를 맺어왔으며, 그 매혹과 위험성은 수많은 이야기와 예술 작품의 영감이 되었습니다. 이 섹션에서는 역사 속 실제 도박사들의 삶과, 문학 작품 속에서 다양한 모습으로 형상화된 도박사들의 이야기를 통해 도박이라는 현상의 다층적인 의미를 탐구합니다. **1. 역사 속 실제 도박사들** 역사 속에는 엄청난 부를 쌓거나, 반대로 파멸적인 결과를 맞이한 다양한 실존 인물들이 도박사로 기록되어 있습니다. - **와일드 빌 히콕 (Wild Bill Hickok, 1837-1876):** 미국의 서부 개척 시대의 전설적인 인물로, 총잡이이자 보안관이었으며 동시에 열정적인 포커 플레이어였습니다. 그는 포커 게임 중 암살당한 것으로 유명하며, 그가 죽을 때 들고 있던 패 (에이스 두 장과 8 두 장, 그리고 퀸 오브 하츠로 알려진 '데드맨즈 핸드')는 불운의 상징이 되었습니다. 그의 이야기는 도박과 폭력이 공존했던 서부 시대의 한 단면을 보여줍니다. - **존 몬태규, 샌드위치 백작 4세 (John Montagu, 4th Earl of Sandwich, 1718-1792):** 알려진 바에 따르면, 그는 카드 게임에 너무 몰두한 나머지 식사 시간조차 아까워 고기 두 조각을 빵 사이에 끼워 먹었다고 합니다. 이것이 오늘날 우리가 '샌드위치'라고 부르는 음식의 유래라는 설이 있습니다. 그의 이야기는 도박에 얼마나 심취할 수 있는지를 보여주는 일화로 전해집니다. - **소피아 코발렙스카야 (Sofia Kovalevskaya, 1850-1891):** 러시아의 저명한 수학자였던 코발렙스카야는 수학 연구 외에도 도박에 상당한 관심을 가졌습니다. 그녀의 남편인 블라디미르 코발렙스키는 주식 투기와 도박으로 재정적인 어려움을 겪었고, 이는 그녀의 삶에도 영향을 미쳤습니다. 그녀의 이야기는 지적인 인물조차 도박의 유혹에서 자유롭지 못했음을 시사합니다. 이 외에도 역사 속에는 수많은 도박사들이 존재했으며, 그들의 삶은 성공과 몰락, 흥분과 절망 등 극단적인 감정의 롤러코스터를 타는 경우가 많았습니다. **2. 문학 작품 속 도박사들** 도박과 도박사는 수많은 문학 작품에서 매력적인 소재로 다루어져 왔습니다. 작가들은 도박이라는 행위를 통해 인간의 욕망, 광기, 운명, 사회적 문제 등 다양한 주제를 탐구했습니다. - **표도르 도스토옙스키의 "도박사 (The Gambler, 1867)":** 도스토옙스키 자신이 카지노에서 겪었던 경험을 바탕으로 쓴 이 소설은 도박 중독의 심리적 메커니즘과 파괴적인 결과를 생생하게 묘사합니다. 주인공 알렉세이는 가정교사라는 안정적인 직업을 가졌음에도 불구하고, 룰렛의 예측 불가능한 매력에 빠져 점점 파멸해가는 인물입니다. 소설은 도박이 개인의 삶뿐만 아니라 주변 사람들의 관계까지 어떻게 망가뜨리는지를 보여줍니다. 도스토옙스키는 이 소설을 집필할 당시 실제로 빚에 시달리고 있었으며, 마감 기한에 쫓겨 빠르게 완성해야 했습니다. - **오노레 드 발자크의 "고리오 영감 (Le Père Goriot, 1835)":** 이 소설에는 도박에 빠져 가산을 탕진하는 인물들이 등장합니다. 특히 라스틴약은 파리의 사교계에 발을 들여놓기 위해 도박을 시도하고, 돈을 잃는 경험을 합니다. 이는 도박이 사회적 성공을 위한 수단으로 여겨지기도 했던 당시의 분위기를 반영합니다. - **기타 작품들:** 이 외에도 다양한 문학 작품에서 도박사들은 탐욕, 절망, 희망, 운명의 아이러니 등을 상징하는 인물로 등장합니다. 그들은 때로는 매력적이고 위험한 존재로, 때로는 연약하고 비극적인 존재로 그려집니다. 서부극에서는 술집에서 포커를 치는 거친 도박사들의 모습이 자주 등장하며, 현대 소설에서는 도박 중독의 심리적 고통을 심도 있게 다루는 작품들도 있습니다. **3. 사실과 허구 속 도박사의 의미** 사실과 허구 속의 도박사들은 도박이라는 행위가 인간에게 던지는 다양한 질문들을 제기합니다. 그것은 행운에 대한 믿음, 통제할 수 없는 것에 대한 욕망, 예측 불가능한 결과에 대한 스릴, 그리고 중독과 파멸의 위험 등을 포함합니다. 문학 작품 속 도박사들은 이러한 인간의 어두운 측면을 극명하게 드러내는 역할을 하며, 독자들에게 깊은 생각거리를 던져줍니다. 역사 속 실제 도박사들의 삶은 때로는 극적이고 흥미롭지만, 동시에 도박의 위험성을 경고하는 교훈을 담고 있기도 합니다. **4. 결론** 도박사는 역사와 문학 속에서 끊임없이 등장하는 흥미로운 인물 유형입니다. 그들의 이야기는 도박의 매력과 위험성, 그리고 인간의 다양한 욕망과 심리를 반영합니다. 다음 장에서는 이러한 도박 행위를 수학적으로 분석하고 이해하는 데 필요한 기본적인 개념들을 본격적으로 살펴보겠습니다. # 2 Finite Probabilities and Great Expectations ## 2.1 The probability concept and its origins ## 2.2 Dice, cards, and probabilities ## 2.3 Roulette, probability and odds ## 2.4 Compound probabilities: The rules of the game ## 2.5 Mathematical expectation and its application ## 2.6 Exercises # 3 Backgammon and Other Dice Diversions ## 3.1 Backgammon oversimplified ## 3.2 Rolling spots and hitting blots ## 3.3 Entering and bearing off ## 3.4 The doubling cube ## 3.5 Craps ## 3.6 Chuck-a-Luck ## 3.7 Exercises # 4 Permutations, Combinations, and Applications ## 4.1 Careful counting: Is order important? ## 4.2 Factorials and other notation ## 4.3 Probabilities in poker ## 4.4 Betting in poker: A simple model ## 4.5 Distributions in bridge ## 4.6 Keno type games ## 4.7 Exercises # 5 Play it Again Sam: The Binomial Distribution ## 5.1 Games and repeated trials ## 5.2 The binomial distribution ## 5.3 Beating the odds and the "law" of averages ## 5.4 Betting systems ## 5.5 A brief blackjack breakthrough ## 5.6 Exercises # 6 Elementary Game Theory ## 6.1 What is game theory? ## 6.2 Games in extensive form ## 6.3 Two-person games in normal form ## 6.4 Zero-sum games ## 6.5 Nonzero-sum games, Nash equilibria and the prisoners' dilemma ## 6.6 Simple n-person games ## 6.7 Power indices ## 6.8 Games computers play ## 6.9 Exercises # 7 Odds and Ends ## 7.1 Off to the races ## 7.2 Lotteries and your expectation ## 7.3 The gambler's ruin